Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích — Kiến thức cần nhớ
1. Diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$.
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ được tính bởi công thức: $S=\int_a^b \left|f(x)\right|dx.$
- Nếu hàm số $y=f(x)$ không đổi dấu trên đoạn $[a;b]$ thì $S=\int_a^b \left|f(x)\right|dx=\left|\int_a^b f(x)dx\right|.$
Đặc biệt, nếu phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm trên khoảng $(a;b)$ thì công thức trên vẫn đúng.
- Nếu phương trình $f(x)=0$ chỉ có một nghiệm $c$ trên khoảng $(a;b)$ thì $S=\left|\int_a^c f(x)dx\right|+\left|\int_c^b f(x)dx\right|.$
b) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng $x=a, x=b$
Cho hai hàm số $y=f_1(x), y=f_2(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f_1(x), y=f_2(x)$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$ được tính bởi công thức: $S=\int_a^b \left|f_1(x)-f_2(x)\right|dx$
2. Thể tích hình khối
Cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cùng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b$. Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(a\leq x\leq b)$ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích $S(x)$ ($S(x)$ là hàm số liên tục).
Thể tích của vật thể được tính bởi công thức: $V=\int_a^b S(x)dx$.
3. Thể tích khối tròn xoay
Cho hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$.
Quay $D$ quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: $V=\pi \int_a^b f^2(x)dx$
