Phương trình đường thẳng

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Phương trình đường thẳng - Bài tập phần 9

9. Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng \( \Delta_1 \) có vector chỉ phương \( \vec{a} , \Delta_2 \) có vector chỉ phương \( \vec{b} \).

\( \varphi = \text{góc } (\Delta_1, \Delta_2). \)

\( \cos \varphi = | \cos(\vec{a}, \vec{b}) | = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right|. \)

Ví dụ: Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng: \( \Delta_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+2}{2}, \quad \Delta_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-1}{3}. \)

Đáp án

page42

Bài tập: Tính góc giữa hai đường thẳng: \( d_1: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}, \quad d_2: \frac{x+1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z-3}{1}. \)

\( A. 45^\circ \quad
B. 80^\circ \quad
C. 60^\circ \quad
D. 30^\circ \).

Đáp án

page43

10. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

\( \Delta: \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}, \quad \Delta \parallel \pi. \)

Mặt phẳng: \( P: A x + B y + C z + D = 0. \)

\( \varphi = \text{góc } (\Delta, mpP), \quad \alpha = \text{góc } (\Delta, d). \)

\( \alpha + \varphi = \frac{\pi}{2}. \)

\( \sin \varphi = \cos \alpha = \left| \cos (\vec{a}, \vec{n}_P) \right| \)

(Chuyển góc tạo với đường thẳng và mặt phẳng về góc tạo giữa 2 đường thẳng.)

Ví dụ: Tính góc tạo bởi đường thẳng \( \Delta \): \( \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{3} \) và mặt phẳng \( \pi: 3x + y + 2z - 1 = 0 \).

Đáp án

page44

11. Góc tạo bởi hai mặt phẳng
Cho mp(P) có vectơ pháp \( \vec{n_P} \)

mp(Q) có vectơ pháp \( \vec{n_Q} \)

\( \varphi = \text{góc}(mp(P), mp(Q)) \)

\( \cos \varphi = | \cos (\vec{n_P}, \vec{n_Q}) | \)

\(mp(P) \perp mp(Q) \Leftrightarrow \vec{n_P} \perp \vec{n_Q}\)

Bài tập: Góc tạo bởi hai mặt phẳng cùng qua điểm M(1, -1, -1) trong đó có mặt phẳng chứa ox và mp chứa oz là

\(A. 30^\circ \quad B. 45^\circ \quad C. 60^\circ \quad D. 90^\circ \)

Đáp án

page45