Bài tập: Cho 2 điểm \( A(-1, 2, 4) \), \( B(3, -2, 0) \). Điểm \( M \in \text{mp } Oxz \) sao cho \( |\vec{MA}^2 + 3\vec{MB}|^2 \) nhỏ nhất có tọa độ là:  

A. \( M(-1, 0, -2) \)                      

B. \( M(1, 0, 2) \)                  

C. \( M(2, 0, 1) \)                        

D. \( M(-2, 0, -1) \) 

Định lý:   \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
            \(\quad \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

•   Độ dài của một vectơ: \( \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\)
                \(\quad |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

•   Khoảng cách giữa hai điểm: \(A(x_A, y_A, z_A),  B(x_B, y_B, z_B)\)
     \(\quad AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)

•   Góc tạo bởi hai vectơ:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
               •   Gọi  \(\varphi \) = Góc \( (\overrightarrow{a} ,  \overrightarrow{b})\)
                \(\quad \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\)

•   Điều kiện để hai vectơ vuông góc:\( \quad \overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3),  \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\)
            \(\quad \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} .\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0\)

Bài tập: Cho\( \overrightarrow{a} = (1, 1, 2), \, \overrightarrow{b} = (x, 0, 1)\).Tìm x để \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{26}\)

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = -4 \end{array} \right.\quad\)              

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array} \right.\quad  \)       

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -5 \end{array} \right.\quad \)          

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array} \right.\quad \)

Bài tập: Cho  \(\overrightarrow{a} = (2, 1, 0), \, \overrightarrow{b} = (-1, 0, -2) , cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \) bằng:

A.  \(-\frac{2}{25} \quad\)

B. \(-\frac{2}{5} \quad\)

C. \( \frac{2}{25} \quad\)

D. \(\frac{2}{5}\)
 

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm  \(M(2,3,-1),  N(-1,1,1),  P(1,m-1,2)\). Tìm m để \(\triangle\) MNP  vuông tại N.

               A.  m=-6                             B.  m=0                             C.  m=-4                                 D. m=2