Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 46). Cạnh đáy dưới dài $ 5 m $, cạnh đáy trên dài $ 2 m $, cạnh bên dài $ 3 m $. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là $ 1.500.000 $ đồng$ /m ^ { 3 } $. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ ABCD.MNPQ $ với $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 5 m,MNPQ $ là hình vuông cạnh $ 2 m,AM=BN=CP=DQ=3 m $. Vì $ DQ,NB $ cắt nhau nên $ D,Q,N,B $ đồng phẳng. Mà $ (ABCD)//(MNPQ) $ nên $ NQ//BD $ Gọi $ I $ là giao điểm của $ MP $ và $ NQ $, $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Khi đó $ IO⊥(MNPQ),IO⊥(ABCD) $. Xét hình thang $ QNBD $, gọi $ H $ là hình chiếu của $ Q $ trên $ BD,K $ là hình chiếu của $ N $ trên $ BD $. Vì $ IO⊥BD $, $ QH⊥BD,NK⊥BD $ trong $ (QNBD) $ nên $ IO//QH//NK $. Suy ra $ QH⊥(MNPQ),QH⊥(ABCD) $ nên $ QH $ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều. Ngoài ra, ta có $ QH=NK=IO $ và $ QD=NB $. Suy ra $ ΔQHD=ΔNKB $ nên ta có $ HD=BK $ Bên cạnh đó, $ QNKH $ là hình chữ nhật nên $ QN=HK $. Từ đó ta có: $ HD=\frac { BD-HK } { 2 }=\frac { \sqrt[] { AD ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }-\sqrt[] { MN ^ { 2 } +MQ ^ { 2 } } } { 2 } $$ =\frac { \sqrt[] { 5 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } }-\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }( m) $ Xét tam giác $ QHD $ vuông tại $ H $ có: $ QH=\sqrt[] { QD ^ { 2 } -HD ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }( m). $ Diện tích của hai đáy là: $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =5 ^ { 2 } =25\left ( {  m ^ { 2 } } \right ) $,$ S_{ MNPQ } =MN ^ { 2 } =2 ^ { 2 } =4\left ( {  m ^ { 2 } } \right ){ \rm{ . } } $ Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là: $ V=\frac { 1 } { 3 }QH\left ( { S_{ ABCD } +\sqrt[] { S_{ ABCD } ⋅S_{ MNPQ } }+S_{ MNPQ } } \right ) $$ =\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }(25+\sqrt[] { 25⋅4 }+4)=\frac { 39\sqrt[] { 2 } } { 2 }\left ( {  m ^ { 3 } } \right ) $. Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:$ 1500000⋅\frac { 39\sqrt[] { 2 } } { 2 }≈41,365747 $ (triệu đồng).