Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông, tâm $ O $, cạnh $ a\sqrt[] { 2 } $. Biết $ SA=2a $ và $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $.

a) Đúng. Khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBC } \right ) $. Dựng $ AK⊥SB $, $ \left ( { K∈SB } \right ) $ $ \left ( { 1 } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⊃AK⇒BC⊥AK $ $ \left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra $ AK⊥\left ( { SBC } \right ) ⇒AK=d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $. Xét $ ΔSAB $ vuông tại $ A $, có $ \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 4a ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 4a ^ { 2 } } ⇒AK=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. b) Sai. Khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SCD } \right ) $. Dựng $ AH⊥SD $, $ \left ( { H∈SD } \right ) $ $ \left ( { 1 } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥AD \\ CD⊥SA \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SAD } \right )⊃AH⇒CD⊥AH $ $ \left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra $ AH⊥\left ( { SCD } \right ) $$ ⇒AH=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Mặt khác, ta có $ AH=AK $$ ⇒AH=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. c) Sai. Khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBD } \right ) $. Dựng $ AL⊥SO $, $ \left ( { L∈SO } \right ) $$ ⇒d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AL $. Xét $ ΔSAO $ vuông tại $ A $, có $ \frac { 1 } { AL ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 4a ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 4a ^ { 2 } } $$ ⇒AK=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. d) Đúng. Gọi $ M $ là trung điểm $ DC $, $ I $ là trung điểm $ SB $, $ E $ là trung điểm $ SA $. Dựng $ AJ⊥ED $, $ \left ( { J∈ED } \right ) $$ ⇒d\left ( { A,\left ( { DMI } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { CDEI } \right ) } \right )=AJ $. Xét $ ΔAED $ vuông tại $ A $, có $ \frac { 1 } { AJ ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 2a ^ { 2 } } $$ ⇒AJ=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $.