Bài tập nâng cao · Bài 59
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 59
Có $60$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $60$. Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$.
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu: $|\Omega|=C_{60}^{3}=34220$.
Gọi $A$ là tập các thẻ đánh số $a$ sao cho $1\leq a\leq60$ và $a$ chia hết cho $3$. $A=\{3;6;\ldots;60\}\Rightarrow|A|=20$.
Gọi $B$ là tập các thẻ đánh số $b$ sao cho $1\leq b\leq60$ và $b$ chia $3$ dư $1$. $B=\{1;4;\ldots;58\}\Rightarrow|B|=20$.
Gọi $C$ là tập các thẻ đánh số $c$ sao cho $1\leq c\leq60$ và $c$ chia $3$ dư $2$. $C=\{2;5;\ldots;59\}\Rightarrow|C|=20$.
Với $D$ là biến cố: “Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ được đánh số từ $1$ đến $60$ sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Ta có $4$ trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Rút $3$ thẻ từ $A$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 2: Rút $3$ thẻ từ $B$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 3: Rút $3$ thẻ từ $C$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 4: Rút mỗi tập $1$ thẻ: Có $20\cdot20\cdot20=8000$ (cách).
Suy ra $|D|=3\cdot C_{20}^{3}+8000=11420$.
Vậy xác suất cần tìm $P=\frac{|D|}{|\Omega|}=\frac{11420}{34220}=\frac{571}{1711}$.
Gọi $A$ là tập các thẻ đánh số $a$ sao cho $1\leq a\leq60$ và $a$ chia hết cho $3$. $A=\{3;6;\ldots;60\}\Rightarrow|A|=20$.
Gọi $B$ là tập các thẻ đánh số $b$ sao cho $1\leq b\leq60$ và $b$ chia $3$ dư $1$. $B=\{1;4;\ldots;58\}\Rightarrow|B|=20$.
Gọi $C$ là tập các thẻ đánh số $c$ sao cho $1\leq c\leq60$ và $c$ chia $3$ dư $2$. $C=\{2;5;\ldots;59\}\Rightarrow|C|=20$.
Với $D$ là biến cố: “Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ được đánh số từ $1$ đến $60$ sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Ta có $4$ trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp 1: Rút $3$ thẻ từ $A$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 2: Rút $3$ thẻ từ $B$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 3: Rút $3$ thẻ từ $C$: Có $C_{20}^{3}$ (cách).
+ Trường hợp 4: Rút mỗi tập $1$ thẻ: Có $20\cdot20\cdot20=8000$ (cách).
Suy ra $|D|=3\cdot C_{20}^{3}+8000=11420$.
Vậy xác suất cần tìm $P=\frac{|D|}{|\Omega|}=\frac{11420}{34220}=\frac{571}{1711}$.