Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là $ S=4 $. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng $ maxV=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { b\sqrt[] { \tan36° } } $, trong đó $ a,b\in \mathbb{N} ^ { * } $, $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Hãy tính $ T=a+b $:

Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là $ S.ABCDE $ có $ O $ là tâm của đáy $ ABCDE $, $ I $ là trung điểm cạnh $ CD $. $ ⇒ SO⊥\left ( { ABCDE } \right ) $ và $ OI⊥CD ⇒ CD⊥\left ( { SOI } \right ) $ Lại có: $ \widehat { COI }=\frac { 1 } { 2 } \widehat { COD }=36° ⇒ IC=OI.\tan36° $ Dễ thấy: $ S_{ ΔSCD } +S_{ ΔOCD } =\frac { 1 } { 5 }S=\frac { 4 } { 5 } ⇒ \frac { 1 } { 2 }SI.CD+\frac { 1 } { 2 }OI.CD=\frac { 4 } { 5 } ⇒ SI.IC+OI.IC=\frac { 4 } { 5 } $ $ ⇒ SI.OI.\tan36°+OI ^ { 2 } .\tan36°=\frac { 4 } { 5 } ⇒ SI=\frac { 4 } { 5.IO.\tan36° }-OI $ $ ⇒ SO=\sqrt[] { SI ^ { 2 } -OI ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 4 } { 5.OI.\tan36° }-OI } \right ) ^ { 2 } -OI ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 16 } { 25.OI ^ { 2 } .\tan ^ { 2 } 36° }-\frac { 8 } { 5\tan36° } } $ Thể tích khối chóp $ S.ABCDE $ là: $ V=\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ABCDE } =\frac { 1 } { 3 }SO.5S_{ ΔCOD } =\frac { 5 } { 3 }SO.\frac { 1 } { 2 }OI.CD $ $ =\frac { 5 } { 3 }SO.OI.IC=\frac { 5 } { 3 }\sqrt[] { \frac { 16 } { 25.OI ^ { 2 } .tan ^ { 2 } 36° }-\frac { 8 } { 5tan36° } }.OI ^ { 2 } .tan36° =\frac { 10\sqrt[] { 2 } } { 3\sqrt[] { 5tan36° } }\sqrt[] { \left ( { \frac { 2 } { 5 }-OI ^ { 2 } .tan36° } \right ).OI ^ { 2 } tan36° }\leq \frac { 10\sqrt[] { 2 } } { 3\sqrt[] { 5tan36° } }.\frac { \frac { 2 } { 5 }-OI ^ { 2 } .tan36°+OI ^ { 2 } tan36° } { 2 } $ $ =\frac { 10\sqrt[] { 2 } } { 3\sqrt[] { 5tan36° } }.\frac { 1 } { 5 }=\frac { 2\sqrt[] { 10 } } { 15\sqrt[] { tan36° } } $ Vậy: $ a=2 $; $ b=15 ⇒ T=a+b=17 $.