Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho:
a) $MB^2+MC^2-MA^2=0$;
b) $MB^2+MC^2-2MA^2=0$.

Question

DẠNG 5. TẬP HỢP ĐIỂM Dạng 1: $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ $(1)$ ($A,B$ là hai điểm cố định). $-\quad k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$. $-\quad k e0$: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $(1)\Leftrightarrow(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=k\Leftrightarrow MI^2-IA^2=k\Leftrightarrow MI^2=k+\dfrac{AB^2}{4}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{k+\dfrac{AB^2}{4}}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}<0\Leftrightarrow k<-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là rỗng. Dạng 2: $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow v=k$ $(2)$ ($A$ cố định, $\overrightarrow v$ có hướng, độ dài xác định). $k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với giá của $\overrightarrow v$. $k e0$: Gọi $\overrightarrow{A'M'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AM}$ trên giá của vectơ $\overrightarrow v$; ta có: $(2)\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M'}\cdot\overrightarrow v=k$ (định lí hình chiếu). $A'$ cố định $\Rightarrow M'$ cố định ($M'$ nằm trên giá của $\overrightarrow v$ định bởi $A'M'=\dfrac{k}{v}$). Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v$ tại $M'$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image691.png] [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image692.png] Dạng 3: $\alpha MA^2+\beta MB^2=k$ $(3)$ ($A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số và $\alpha+\beta e0$). Gọi $I$ là điểm thỏa $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0\Rightarrow I$ là điểm cố định. $(3)\Leftrightarrow\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2+2(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})\cdot\overrightarrow{MI}+\alpha IA^2+\beta IB^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2=k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)$ $\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}>0$: Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}=0\Leftrightarrow k=\alpha IA^2+\beta IB^2$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}<0$: Tập hợp điểm $M$ là rỗng. Chú ý: Để giải các bài toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức đã cho bằng cách sử dụng công thức thu gọn vectơ dưới đây: $-\quad$ Cho hai điểm $A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}$. $-\quad$ Cho ba điểm $A,B,C$ cố định, $\alpha,\beta,\chi$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta+\chi e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}+\chi\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\chi\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\chi)\overrightarrow{MI}$. Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho: a) $MB^2+MC^2-MA^2=0$; b) $MB^2+MC^2-2MA^2=0$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Dựng hình bình hành $ABEC$. Ta có $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EA}=\overrightarrow0$. Do đó $MB^2+MC^2-MA^2$ $=(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})^2+(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EC})^2-(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})^2$ $=ME^2+EB^2+EC^2-EA^2$. Vì $\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}$ nên $MB^2+MC^2-MA^2=0\Leftrightarrow ME^2=2\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EC}=2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2AB\cdot AC\cos A$. Nếu $\widehat A$ tù thì tập hợp là rỗng; nếu $\widehat A$ vuông thì tập hợp chỉ gồm $E$; nếu $\widehat A$ nhọn thì tập hợp là đường tròn tâm $E$, bán kính $\sqrt{2AB\cdot AC\cos A}$. b) Cách 1: Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $J$ là trung điểm của $AI$. Ta có $MB^2+MC^2-2MA^2=0$ $\Leftrightarrow2MI^2+\dfrac{BC^2}{2}-2MA^2=0$ $\Leftrightarrow MA^2-MI^2=\dfrac{BC^2}{4}$. Vì $MA^2-MI^2=2\overrightarrow{JH}\cdot\overrightarrow{AI}$, với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AI$, nên $H$ là điểm cố định trên $AI$ theo hướng từ $J$ đến $I$, thỏa mãn $JH=\dfrac{BC^2}{8AI}$. Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $AI$. Cách 2: Gọi $O,G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác $ABC$. Khi khai triển quanh $O$, điều kiện trở thành $2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA})=0$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{AG}=0$. Vậy tập hợp cũng là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $AG$.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 54