Trắc nghiệm · Câu 6
Biểu thức $ A=\frac { 2\cos ^ { 2 } 2a+\sqrt[] { 3 }\sin4a-1 } { 2\sin ^ { 2 } 2a+\sqrt[] { 3 }\sin4a-1 } $ có kết quả rút gọn là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$ A=\frac { \sin\left ( { 4a+\frac { π } { 6 } } \right ) } { \sin\left ( { 4a-\frac { π } { 6 } } \right ) } $
Lời giải
Lời giải
Sử dụng các công thức nhân đôi $2\cos^{2}(2a) - 1 = \cos(4a)$ và $1 - 2\sin^{2}(2a) = \cos(4a) \Rightarrow 2\sin^{2}(2a) - 1 = -\cos(4a)$, ta biến đổi biểu thức $A$ như sau:
$$
A = \frac{\big(2\cos^{2}(2a) - 1\big) + \sqrt{3}\sin(4a)}{\big(2\sin^{2}(2a) - 1\big) + \sqrt{3}\sin(4a)} = \frac{\cos(4a) + \sqrt{3}\sin(4a)}{-\cos(4a) + \sqrt{3}\sin(4a)} = \frac{\sqrt{3}\sin(4a) + \cos(4a)}{\sqrt{3}\sin(4a) - \cos(4a)}
$$
Chia cả tử và mẫu cho 2 để đưa về công thức cộng của sin:
$$
A = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(4a) + \frac{1}{2}\cos(4a)}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(4a) - \frac{1}{2}\cos(4a)}
$$
$$
\Leftrightarrow A = \frac{\sin(4a)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos(4a)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin(4a)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(4a)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}
$$
$$
\Leftrightarrow A = \frac{\sin\left(4a + \frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(4a - \frac{\pi}{6}\right)}
$$
Do đó, đáp án đúng là C.