Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 34
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm $2$ học sinh lớp $12A$, $3$ học sinh lớp $12B$ và $5$ học sinh lớp $12C$ thành một hàng ngang. Xác suất để không có một học sinh lớp $12B$ nào xếp giữa hai học sinh lớp $12A$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Số cách xếp $10$ học sinh là $10!\Rightarrow n\left( { \Omega } \right)=10!$.
Ta đi tìm số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Trước tiên xếp 2 học sinh lớp $12A$ có $2!$ cách.
Vì giữa 2 học sinh lớp $12A$ không có học sinh lớp $12B$ nên chỉ có thể xếp học sinh lớp $12C$ vào giữa hai học sinh lớp $12A$.
Vậy chọn $k\in \left\{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4,5 \end{array} \right\}$ học sinh lớp $12C$ rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp $12A$ có $A_{5} ^{k}$ cách ta được một nhóm $X$.
Xếp $10-\left( { 2+k } \right)=8-k$ học sinh còn lại với nhóm $X$ có $\left( { 9-k } \right)!$ cách.
Vậy có $\sum \limits_{k=0} ^ 5 { 2!.A_{5} ^{k} }\left( { 9-k } \right)!=1451520$ cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính $P=\frac{1451520}{10!}=\frac{2}{5}$.
Ta đi tìm số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Trước tiên xếp 2 học sinh lớp $12A$ có $2!$ cách.
Vì giữa 2 học sinh lớp $12A$ không có học sinh lớp $12B$ nên chỉ có thể xếp học sinh lớp $12C$ vào giữa hai học sinh lớp $12A$.
Vậy chọn $k\in \left\{ \begin{array}{l} 0,1,2,3,4,5 \end{array} \right\}$ học sinh lớp $12C$ rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp $12A$ có $A_{5} ^{k}$ cách ta được một nhóm $X$.
Xếp $10-\left( { 2+k } \right)=8-k$ học sinh còn lại với nhóm $X$ có $\left( { 9-k } \right)!$ cách.
Vậy có $\sum \limits_{k=0} ^ 5 { 2!.A_{5} ^{k} }\left( { 9-k } \right)!=1451520$ cách thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tính $P=\frac{1451520}{10!}=\frac{2}{5}$.