Cho khoảng $ A=\left ( -1;m+2 \right ) $ và nửa khoảng $ B=\left [ 3m-4;14 \right ) $ ($ m $ là tham số). Gọi $ S $ là tập hợp tất cả các số nguyên $ m $ sao cho $ A \cup B = \left ( -1;14 \right ) $. Tính tổng các phần tử của tập hợp $ S $.

Điều kiện đối với $ m $ để tồn tại khoảng $ A $ và nửa khoảng $ B $ là: $ \begin{cases} m+2 > -1 \\ 3m-4 < 14 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > -3 \\ m < 6 \end{cases} \Leftrightarrow -3 < m < 6 $ (*). Khi đó, để $ A \cup B = \left ( -1; 14 \right ) $, các tập hợp phải gối đầu (giao nhau khác rỗng) và không vượt quá biên độ chung, tương đương với: $ \begin{cases} 3m-4 > -1 \\ 3m-4 \le m+2 \\ m+2 \le 14 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 1 \\ m \le 3 \\ m \le 12 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m \le 3 $. Kết hợp với điều kiện (*), ta được khoảng giá trị của $ m $ là: $ 1 < m \le 3 $. Vì $ m \in \mathbb{Z} $ nên tập hợp các số nguyên $ m $ thỏa mãn yêu cầu của bài toán là: $ S = \{2; 3\} $. Vậy tổng các phần tử của tập hợp $ S $ bằng: $ 2 + 3 = 5 $.