Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD \right)$. Tính $\tan\varphi$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$.
Ta có tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $ABCD$ nên suy ra $SH\perp AB$ và $SH\perp\left( ABCD \right)$.
Lại có $S\in\left( SAB \right)\cap\left( SCD \right)$
$ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$
Do đó $\left( SAB \right)\cap\left( SCD \right)=d$ đi qua điểm S và $d\parallel AB\parallel CD$ mà $SH\perp AB$ $\Rightarrow SH\perp d$
Có $SH\perp\left( ABCD \right)\Rightarrow SH\perp CD$ và $HK\perp CD\Rightarrow CD\perp SK$ nên $SK\perp d$.
Suy ra $\left( \left( SAB \right),\left( SCD \right) \right)=\left( SH,SK \right)=\widehat{HSK}=\varphi$.
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ có $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB$ và $CD$ nên $HK=a$.
Mặt khác $SH\perp\left( ABCD \right)\Rightarrow SH\perp HK$ nên $\tan\varphi=\tan\widehat{HSK}=\frac{HK}{SH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
