Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 2
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a$, $\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=60^{\circ}$; $\widehat{BSC}=90^{\circ}$, gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( ABC \right)$. Khi đó $\sin\varphi$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết: $\vartriangle SAB$ là tam giác đều $\Rightarrow$ $SA=SB=AB$
$\vartriangle SAC$ là tam giác đều $\Rightarrow$ $SA=SC=AC$
$\vartriangle SBC=\vartriangle ABC$ (c.c.c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}=\widehat{BSC}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\vartriangle ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow$ chân đường cao $H$ hạ từ đỉnh $S$ trùng với tâm của $\vartriangle ABC$
$\Rightarrow$ $H$ trùng với trung điểm của cạnh huyền $BC$
Gọi $K$ là trung điểm của $AC$: $SK\perp AC$ (vì $\vartriangle SAC$ đều)
$HK\parallel AB$ và $AB\perp AC$ $\Rightarrow$ $HK\perp AC$
$\sin\varphi=\sin\left( \left( SAC \right);\left( ABC \right) \right)=\sin\widehat{SKH}=\frac{SH}{SK}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\vartriangle SAC$ là tam giác đều $\Rightarrow$ $SA=SC=AC$
$\vartriangle SBC=\vartriangle ABC$ (c.c.c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}=\widehat{BSC}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ $\vartriangle ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$
$SA=SB=SC$ $\Rightarrow$ chân đường cao $H$ hạ từ đỉnh $S$ trùng với tâm của $\vartriangle ABC$
$\Rightarrow$ $H$ trùng với trung điểm của cạnh huyền $BC$
Gọi $K$ là trung điểm của $AC$: $SK\perp AC$ (vì $\vartriangle SAC$ đều)
$HK\parallel AB$ và $AB\perp AC$ $\Rightarrow$ $HK\perp AC$
$\sin\varphi=\sin\left( \left( SAC \right);\left( ABC \right) \right)=\sin\widehat{SKH}=\frac{SH}{SK}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.