Cho tứ diện $ABCD$, lấy điểm $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $AC$ và $BD$. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $ABCD$. Thiết diện là hình gì ?

Question

DẠNG 3. THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác phẳng thu được khi cắt một khối chóp bằng một mặt phẳng. (Các cạnh của đa giác thu được là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp). Phương pháp: Tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng $\left( P \right)$: Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của $\left( P \right)$ với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của $\left( P \right)$ với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Chú ý: + Thiết diện của một khối chóp là một đa giác bao quanh viền ngoài khối chóp, không có đường thẳng nào đâm xuyên bên trong khối chóp đó. + Có thể tìm thiết diện bằng phương pháp dựng giao điểm. Cho tứ diện $ABCD$, lấy điểm $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $AC$ và $BD$. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $ABCD$. Thiết diện là hình gì ?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-12. DUONG THANG SONG SONG MP/F. BAI TAP NANG CAO/image503.png] - $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( BCD \right)$. Ta có $\left( \alpha \right)\parallel BD$ nên giao tuyến của chúng qua $M$ và song song với $BD$, giao tuyến này cắt $BC$ tại $E$ và cắt $CD$ tại $F$. - $E$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( ABC \right)$. Ta có $\left( \alpha \right)\parallel AC$ nên giao tuyến của chúng qua $E$ và song song với $AC$, giao tuyến này cắt $AB$ tại $H$. - $H$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( ABD \right)$. Ta có $\left( \alpha \right)\parallel BD$ nên giao tuyến của chúng qua $H$ và song song với $BD$, giao tuyến này cắt $AD$ tại $G$. $G$ và $F$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( ACD \right)$. Vậy giao tuyến của chúng là $FG$. Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)\parallel AC$ nên giao tuyến $FG\parallel AC$. Kết luận: Thiết diện cần tìm là hình bình hành $EFGH$ vì $EF\parallel BD\parallel HG$ và $HE\parallel FG\parallel AC$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng song song · Bài 22