Bài tự luận · Bài 27
Dạng 3. Xác định mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương Phương pháp giải: 1. Mệnh đề kéo theo - Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu $P\Rightarrow Q$. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. - Nếu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng (định lí) thì ta nói: + $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí; + $P$ là điều kiện đủ để có $Q$; + $Q$ là điều kiện cần để có $P$. Chú ý: a) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ còn được phát biểu là "$P$ kéo theo $Q$" hoặc "Từ $P$ suy ra $Q$". b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề $P\Rightarrow Q$, ta chỉ cần xét trường hợp $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì mệnh đề đúng, nếu $Q$ sai thì mệnh đề sai. 2. Mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương - Mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q\Rightarrow P$. Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. - Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là $P\Leftrightarrow Q$. - Khi đó, $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ (hay $Q$ là điều kiện cần và đủ để có $P$). Chú ý: Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
Bài tự luận Mệnh đề · Bài 27
a) $P$: "$x^{2}+y^{2}=0$"; $Q$: "$x=0$ và $y=0$".
b) $P$: "$x^{2}>0$"; $Q$: "$x>0$"
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử ta có $x^{2}+y^{2}=0$. Vì $x^{2} \geq 0, y^{2} \geq 0$ nên $x^{2}+y^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x,y$.
Do vậy từ $x^{2}+y^{2}=0$ ta suy ra $x^{2}=0, y^{2}=0$. Do đó $x=0$ và $y=0$.
Vậy mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng. Ngược lại, nếu có $x=0$ và $y=0$, hiển nhiên ta suy ra $x^{2}+y^{2}=0$. Vậy mệnh đề $Q\Rightarrow P$ đúng.
Vậy mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ đúng.
b) Mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$: "$x^{2}>0$ khi và chỉ khi $x>0$".
Giả sử $x^{2}>0$. Vì $x^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x$, nên từ $x^{2}>0$ ta suy ra $x^{2} \neq 0$ hay $x\neq 0$. Điều này không suy ra $x>0$. Do đó, mệnh đề $P\Rightarrow Q$ sai.
Vậy mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ sai.