Bài tập nâng cao · Bài 21
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 21
Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AM^2-\dfrac14BC^2$.
b) $AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AM^2-\dfrac14BC^2$.
b) $AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Cách 1:
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2}{4}=\dfrac{(2\overrightarrow{AM})^2-\overrightarrow{CB}^2}4=AM^2-\dfrac{BC^2}{4}$.
Cách 2: Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=AI^2-IB^2=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}$.
b) $\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, do đó
$AM^2=\dfrac14(AB^2+AC^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})=\dfrac14[2(AB^2+AC^2)-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2]=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$ (đpcm).
Đây chính là công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, sẽ được đề cập nhiều ở phần sau.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2}{4}=\dfrac{(2\overrightarrow{AM})^2-\overrightarrow{CB}^2}4=AM^2-\dfrac{BC^2}{4}$.
Cách 2: Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=AI^2-IB^2=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}$.
b) $\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, do đó
$AM^2=\dfrac14(AB^2+AC^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})=\dfrac14[2(AB^2+AC^2)-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2]=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$ (đpcm).
Đây chính là công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác, sẽ được đề cập nhiều ở phần sau.