Bài tập nâng cao · Bài 54

Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô hạn I. Dãy số có giới hạn vô han (vô cực, vô cùng) Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số - Ta nói dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ có giới hạn là $ +\infty $ khi $ n\to +\infty $, nếu $ u_{ n } $ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: $ limu_{ n } =+\infty $ hay $ u_{ n } \to +\infty $ khi $ n\to +\infty $. - Dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ có giới hạn là $ -\infty $ khi $ n\to +\infty $, nếu $ lim\left ( { -u_{ n } } \right )=+\infty $. Kí hiệu: $ limu_{ n } =-\infty $ hay $ u_{ n } \to -\infty $ khi $ n\to +\infty $. Một số giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: $ \mathop { lim } \limits_{ n\to +\infty } \sqrt[] { n }=+\infty \mathop { lim } \limits_{ n\to +\infty } n ^ { k } =+\infty (k\in \mathbb{Z} ^ { + } ) \\ \mathop { lim } \limits_{ n\to +\infty } q ^ { n } =+\infty (q>1) $ 2. Định lí: a) Nếu $ lim\left | { u_{ n } } \right |=+\infty $ thì $ lim\frac { 1 } { u_{ n } }=0 $. b) Nếu $ limu_{ n } =a $; $ limv_{ n } =±\infty $ thì $ lim\frac { u_{ n } } { v_{ n } }=0 $ c) Nếu $ limu_{ n } =a\neq 0,limv_{ n } =0 $ thì $ lim\frac { u_{ n } } { v_{ n } }=\left \{ \begin{array}{l} +\infty (a.v_{ n } >0) \\ -\infty (a.v_{ n } < 0) \end{array} \right. $ d) Nếu $ limu_{ n } =+\infty $, $ limv_{ n } =a $ thì $ lim(u_{ n } .v_{ n } )=\left \{ \begin{array}{l} +\infty (a>0) \\ -\infty (a < 0) \end{array} \right. $

Bài tập nâng cao Giới hạn của dãy số · Bài 54