Bài tập nâng cao · Bài 41
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 41
Xác định hệ số của $x^8$ trong khai triển của $f(x)=(1+x+2x^2)^{10}$.
Xem lời giải
Lời giải
$f(x)=(1+x+2x^2)^{10}$ có số hạng tổng quát là $\frac{10!}{m!\cdot n!\cdot k!}x^n(2x^2)^k,m,n,k=0;10$
$=\frac{10!}{m!\cdot n!\cdot k!}2^k\cdot x^{n+2k}$
Theo bài ta có $\left\{\begin{array}{l}n+2k=8\\m+n+k=10\\m,n,k=0;10\end{array}\right.$
$m n k$
$6 0 4$
$5 2 3$
$4 4 2$
$3 6 1$
$2 8 0$
Vậy hệ số cần tìm là $\frac{10!}{4!\cdot6!}2^4+\frac{10!}{2!\cdot3!\cdot5!}2^3+\frac{10!}{4!\cdot2!\cdot4!}2^2+\frac{10!}{6!\cdot3!}2^1+\frac{10!}{8!\cdot2!}$
$=37845$
$=\frac{10!}{m!\cdot n!\cdot k!}2^k\cdot x^{n+2k}$
Theo bài ta có $\left\{\begin{array}{l}n+2k=8\\m+n+k=10\\m,n,k=0;10\end{array}\right.$
$m n k$
$6 0 4$
$5 2 3$
$4 4 2$
$3 6 1$
$2 8 0$
Vậy hệ số cần tìm là $\frac{10!}{4!\cdot6!}2^4+\frac{10!}{2!\cdot3!\cdot5!}2^3+\frac{10!}{4!\cdot2!\cdot4!}2^2+\frac{10!}{6!\cdot3!}2^1+\frac{10!}{8!\cdot2!}$
$=37845$