Bài tập nâng cao · Bài 40
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 40
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{12}$ sau khi khai triển và thu gọn biểu thức $P(x)=2x^4\left(x^3-\frac1{x^2}\right)^n$ $(x\neq0)$, biết $18C_n^2=A_n^3$
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}n\in\mathbb N\\n\geq3\end{array}\right.$
Ta có: $18C_n^2=A_n^3\Leftrightarrow\frac{18n!}{(n-2)!\cdot2!}=\frac{n!}{(n-3)!}\Leftrightarrow9=n-2\Leftrightarrow n=11$ (thỏa mãn).
Với $n=11$ ta có khai triển: $P(x)=2x^4\left(x^3-\frac1{x^2}\right)^{11}$
Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k+1}=2x^4\cdot C_{11}^k\cdot(x^3)^{11-k}\cdot\left(\frac{-1}{x^2}\right)^k=2\cdot C_{11}^k\cdot(-1)^k\cdot x^{4+3(11-k)-2k}=2\cdot C_{11}^k\cdot(-1)^k\cdot x^{37-5k}$.
Số hạng chứa $x^{12}$ ứng với $37-5k=12\Leftrightarrow k=5$.
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{12}$ trong khai triển là: $2\cdot C_{11}^5\cdot(-1)^5=-924$.
Ta có: $18C_n^2=A_n^3\Leftrightarrow\frac{18n!}{(n-2)!\cdot2!}=\frac{n!}{(n-3)!}\Leftrightarrow9=n-2\Leftrightarrow n=11$ (thỏa mãn).
Với $n=11$ ta có khai triển: $P(x)=2x^4\left(x^3-\frac1{x^2}\right)^{11}$
Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k+1}=2x^4\cdot C_{11}^k\cdot(x^3)^{11-k}\cdot\left(\frac{-1}{x^2}\right)^k=2\cdot C_{11}^k\cdot(-1)^k\cdot x^{4+3(11-k)-2k}=2\cdot C_{11}^k\cdot(-1)^k\cdot x^{37-5k}$.
Số hạng chứa $x^{12}$ ứng với $37-5k=12\Leftrightarrow k=5$.
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{12}$ trong khai triển là: $2\cdot C_{11}^5\cdot(-1)^5=-924$.