Bài tập nâng cao · Bài 39
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 39
Tìm hệ số chứa $x^{10}$ trong khai triển $f(x)=\left(\frac14x^2+x+1\right)^2(x+2)^{3n}$ với $n$ là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $2C_n^1+2^2C_n^2+\ldots+2^nC_n^n=242$.
Xem lời giải
Lời giải
Xét khai triển: $(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1a^1b^{n-1}+\ldots+C_n^{n-2}a^{n-2}b^2+C_n^{n-1}a^{n-1}b^1+C_n^na^n$
Chọn $a=2,\,b=1$ ta được: $3^n=(2+1)^n=C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\ldots+2^nC_n^n=C_n^0+242=243$ $\Rightarrow n=5$
Với $n=5$, ta được: $f(x)=\left(\frac14x^2+x+1\right)^2(x+2)^{3n}=\frac1{16}(x+2)^4(x+2)^{15}=\frac1{16}(x+2)^{19}$
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng tổng quát là: $T_{k+1}=\frac1{16}C_{19}^k2^kx^{19-k}$.
Số hạng chứa $x^{10}$ tương ứng với giá trị $k$ thỏa mãn $19-k=10\Leftrightarrow k=9$.
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển là $\frac1{16}C_{19}^{10}2^9=2^5C_{19}^{10}$.
Chọn $a=2,\,b=1$ ta được: $3^n=(2+1)^n=C_n^0+2C_n^1+2^2C_n^2+\ldots+2^nC_n^n=C_n^0+242=243$ $\Rightarrow n=5$
Với $n=5$, ta được: $f(x)=\left(\frac14x^2+x+1\right)^2(x+2)^{3n}=\frac1{16}(x+2)^4(x+2)^{15}=\frac1{16}(x+2)^{19}$
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng tổng quát là: $T_{k+1}=\frac1{16}C_{19}^k2^kx^{19-k}$.
Số hạng chứa $x^{10}$ tương ứng với giá trị $k$ thỏa mãn $19-k=10\Leftrightarrow k=9$.
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển là $\frac1{16}C_{19}^{10}2^9=2^5C_{19}^{10}$.