Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 38
Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển $Q(x)=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2019})(1-x+x^2-x^3+\cdots+x^{100})$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $Q_1(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{2019}\Rightarrow Q_1(1)=2020$
$Q_2(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+x^{100}=1\cdot\frac{1-(-x)^{101}}{1+x}=\frac{1+x^{101}}{1+x},(x\neq-1)\Rightarrow Q_2(1)=1$
Do đó tổng các hệ số trong khai triển là $S=Q(1)=Q_1(1)\cdot Q_2(1)=2020$.
$Q_2(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+x^{100}=1\cdot\frac{1-(-x)^{101}}{1+x}=\frac{1+x^{101}}{1+x},(x\neq-1)\Rightarrow Q_2(1)=1$
Do đó tổng các hệ số trong khai triển là $S=Q(1)=Q_1(1)\cdot Q_2(1)=2020$.