Cho hai điểm $A(3;5)$ và $B(5;3)$. Điểm $M$ nằm trên đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+3)^2=2$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ lớn nhất. Khi đó $AM$ bằng

Question

Dạng 5. Min - max Cho hai điểm $A(3;5)$ và $B(5;3)$. Điểm $M$ nằm trên đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+3)^2=2$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ lớn nhất. Khi đó $AM$ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image1328.png] Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-3)$ và bán kính $R=\sqrt2$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+y-8=0$. Đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $AB$ có phương trình $\Delta:x-y-4=0$. Giao điểm của $\Delta$ và $(C)$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y-4=0\(x-1)^2+(y+3)^2=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=y+4\(y+3)^2+(y+3)^2=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0,y=-4\x=2,y=-2\end{array}\right.$. Diện tích $S_{MAB}=\frac12\cdot AB\cdot d(M,AB)$ lớn nhất khi $d(M,AB)$ lớn nhất. Suy ra $M\in\Delta\cap(C)$. Thử lại kết quả ta có $M(0;-4)$ thỏa mãn, suy ra $AM=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 55