Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x+1)^2+(y-2)^2=9$ và hai điểm $A(6;1)$, $B(0;9)$. Biết $M$ là điểm thuộc $(C)$ sao cho biểu thức $F=MA+MB$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$.

Question

Dạng 5. Min - max Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x+1)^2+(y-2)^2=9$ và hai điểm $A(6;1)$, $B(0;9)$. Biết $M$ là điểm thuộc $(C)$ sao cho biểu thức $F=MA+MB$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image1294.png] Ta có $(C)$ có tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=3$. Gọi $H(3;5)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khi đó: $MA^2+MB^2=2MH^2+\frac{AB^2}{2}$. Đường thẳng $AB$ có phương trình là $\Delta:4x+3y-27=0$. Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là $d:3x-4y+11=0$. Nhận thấy $I\in d$ và $d(I,\Delta)=5=IH$. Ta có: $F^2=(MA+MB)^2\leq2(MA^2+MB^2)=4MH^2+AB^2$. Do đó $F=MA+MB$ lớn nhất khi $MH$ lớn nhất. Vì $I\in d$ nên $MH$ có giá trị lớn nhất là $MH_{\max}=R+d(I,\Delta)=3+5=8$ tại điểm $M\in(C)$ sao cho $MH=8$. Khi đó $\overrightarrow{MH}=\frac85\overrightarrow{IH}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3-x_M=\frac85[3-(-1)]\5-y_M=\frac85(5-2)\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=-\frac{17}{5}\y_M=\frac15\end{array}ight.$. Tọa độ điểm $M\left(-\frac{17}{5};\frac15ight)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ vuông góc với $IH$ nên song song với $\Delta$. Vậy phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là $4\left(x+\frac{17}{5}ight)+3\left(y-\frac15ight)=0\Leftrightarrow4x+3y+13=0$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 54