Bài tập nâng cao · Bài 53
Dạng 5. Min - max
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 53
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2+4x+4y+6=0$ có tâm $I$ và đường thẳng $\Delta:x+my-2m+3=0$. Tổng các giá trị của $m$ để $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích $\triangle ABI$ lớn nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $I(-2;-2)$, $R=\sqrt2$.
$\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B\Leftrightarrow d(I,\Delta)<R\Leftrightarrow\frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}<\sqrt2\Leftrightarrow14m^2-8m-1<0\Leftrightarrow\frac{4-\sqrt{30}}{14}<m<\frac{4+\sqrt{30}}{14}$ (*).
Ta có $S_{\triangle AIB}=\frac12IA\cdot IB\cdot\sin\widehat{AIB}=\frac12\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot\sin\widehat{AIB}=\sin\widehat{AIB}\leq1$ nên $S_{\triangle AIB}$ lớn nhất khi $\sin\widehat{AIB}=1\Leftrightarrow\widehat{AIB}=90^\circ\Leftrightarrow d(I,\Delta)=\frac12AB\Leftrightarrow\frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac12\cdot2\Leftrightarrow15m^2-8m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\frac8{15}\end{array}\right.$.
Kết hợp điều kiện (*) ta có $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\frac8{15}\end{array}\right.$. Vậy tổng các giá trị $m$ là $\frac8{15}$.
$\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B\Leftrightarrow d(I,\Delta)<R\Leftrightarrow\frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}<\sqrt2\Leftrightarrow14m^2-8m-1<0\Leftrightarrow\frac{4-\sqrt{30}}{14}<m<\frac{4+\sqrt{30}}{14}$ (*).
Ta có $S_{\triangle AIB}=\frac12IA\cdot IB\cdot\sin\widehat{AIB}=\frac12\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot\sin\widehat{AIB}=\sin\widehat{AIB}\leq1$ nên $S_{\triangle AIB}$ lớn nhất khi $\sin\widehat{AIB}=1\Leftrightarrow\widehat{AIB}=90^\circ\Leftrightarrow d(I,\Delta)=\frac12AB\Leftrightarrow\frac{|1-4m|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac12\cdot2\Leftrightarrow15m^2-8m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\frac8{15}\end{array}\right.$.
Kết hợp điều kiện (*) ta có $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=\frac8{15}\end{array}\right.$. Vậy tổng các giá trị $m$ là $\frac8{15}$.