Bài tập nâng cao · Bài 52
Dạng 5. Min - max
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 52
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ và điểm $A(3;-1)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và cắt đường tròn $(C)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=4$ nên đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R=2$. Dây cung lớn nhất của đường tròn $(C)$ là đường kính. Vì vậy đường thẳng $\Delta$ cần tìm đi qua hai điểm $A(3;-1)$ và $I(1;-2)$.
Do vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}=(2;1)$ nên ta chọn $\overrightarrow n=(1;-2)$.
Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3;-1)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n=(1;-2)$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình của đường thẳng $\Delta:(x-3)-2(y+1)=0$ hay $\Delta:x-2y-5=0$.
Do vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $\overrightarrow{IA}=(2;1)$ nên ta chọn $\overrightarrow n=(1;-2)$.
Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3;-1)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n=(1;-2)$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình của đường thẳng $\Delta:(x-3)-2(y+1)=0$ hay $\Delta:x-2y-5=0$.