Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x+3)^2+(y-4)^2=16$ và điểm $H(-2;2)$. Đường thẳng $\Delta:ax+by+1=0$ đi qua điểm $H$ và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất. Khi đó $6a+3b$ bằng

Question

Dạng 5. Min - max Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x+3)^2+(y-4)^2=16$ và điểm $H(-2;2)$. Đường thẳng $\Delta:ax+by+1=0$ đi qua điểm $H$ và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất. Khi đó $6a+3b$ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image1212.png] Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-3;4)$, bán kính $R=4$. $\overrightarrow{IH}=(1;-2)\Rightarrow IH=\sqrt5<R\Rightarrow H$ nằm trong đường tròn $(C)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. $	riangle IAB$ cân tại $I\Rightarrow IM\perp AB$. $	riangle IMB$ vuông tại $M\Rightarrow MB=\sqrt{IB^2-IM^2}=\sqrt{R^2-d^2(I,\Delta)}=\sqrt{16-d^2(I,\Delta)}$. $AB=2MB=2\sqrt{16-d^2(I,\Delta)}\geq2\sqrt{16-IH^2}=2\sqrt{11}$ vì $d(I,\Delta)\leq IH$. Độ dài $AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d(I,\Delta)=IH\Leftrightarrow$ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $IH$ tại $H$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $H(-2;2)$ và nhận $\overrightarrow{IH}=(1;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $(x+2)-2(y-2)=0\Leftrightarrow x-2y+6=0\Leftrightarrow\frac16x-\frac13y+1=0\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac16\b=-\frac13\end{array}ight.$. Vậy $6a+3b=0$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 51