Bài tập nâng cao · Bài 50
Dạng 5. Min - max
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 50
Cho phương trình đường tròn $(C):x^2+y^2=9$ tâm $I$ và phương trình đường thẳng $(d_m):(m-1)x+(2-m)y-1=0$ với $m$ là tham số nguyên. Biết đường thẳng $(d_m)$ luôn cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm $A,B$. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $IAB$.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết suy ra $I(0;0)$.
Gọi $h$ là khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $(d_m)$ thì ta có:
$h=\frac1{\sqrt{(m-1)^2+(2-m)^2}}\Rightarrow0<h\leq1$ (do $m\in\mathbb Z$).
Mặt khác ta lại có:
$S_{\triangle IAB}=h\sqrt{9-h^2}=\sqrt{9h^2-h^4}=\sqrt{7h^2+1-(h^2-1)^2}\leq\sqrt8$ (do $0<h\leq1$).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $h=1$, lúc này $m=1$ hoặc $m=2$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $IAB$ bằng $\sqrt8$.
Gọi $h$ là khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $(d_m)$ thì ta có:
$h=\frac1{\sqrt{(m-1)^2+(2-m)^2}}\Rightarrow0<h\leq1$ (do $m\in\mathbb Z$).
Mặt khác ta lại có:
$S_{\triangle IAB}=h\sqrt{9-h^2}=\sqrt{9h^2-h^4}=\sqrt{7h^2+1-(h^2-1)^2}\leq\sqrt8$ (do $0<h\leq1$).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $h=1$, lúc này $m=1$ hoặc $m=2$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $IAB$ bằng $\sqrt8$.