Bài tập nâng cao · Bài 49
Dạng 5. Min - max
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 49
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ và đường thẳng $d$ lần lượt có phương trình $(x-1)^2+(y-2)^2=3^2$ và $3x+4y+1=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$, biết $\Delta$ cắt $(C)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất và $\Delta$ tạo với $d$ một góc $45^\circ$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$.
Vì $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất nên $\Delta$ đi qua tâm $I$.
Gọi $\overrightarrow{n_\Delta}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
Suy ra $\Delta:a(x-1)+b(y-2)=0\Leftrightarrow\Delta:ax+by-a-2b=0$.
$d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(3;4)$.
Ta có: $\cos(d,\Delta)=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n_\Delta}\right)\right|=\frac{|\overrightarrow{n_d}\cdot\overrightarrow{n_\Delta}|}{|\overrightarrow{n_d}|\cdot|\overrightarrow{n_\Delta}|}$.
$\Leftrightarrow\cos45^\circ=\frac{|3a+4b|}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow\frac1{\sqrt2}=\frac{|3a+4b|}{5\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow5\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt2|3a+4b|$
$\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=7b\\a=-\frac17b\end{array}\right.$.
+) Với $a=7b$. Ta chọn $b=1$, $a=7$. Suy ra $\Delta:7x+y-9=0$.
+) Với $a=-\frac17b$. Ta chọn $b=-7$, $a=1$. Suy ra $\Delta:x-7y+13=0$.
Vì $\Delta$ cắt đường tròn $(C)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất nên $\Delta$ đi qua tâm $I$.
Gọi $\overrightarrow{n_\Delta}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
Suy ra $\Delta:a(x-1)+b(y-2)=0\Leftrightarrow\Delta:ax+by-a-2b=0$.
$d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(3;4)$.
Ta có: $\cos(d,\Delta)=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_d},\overrightarrow{n_\Delta}\right)\right|=\frac{|\overrightarrow{n_d}\cdot\overrightarrow{n_\Delta}|}{|\overrightarrow{n_d}|\cdot|\overrightarrow{n_\Delta}|}$.
$\Leftrightarrow\cos45^\circ=\frac{|3a+4b|}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow\frac1{\sqrt2}=\frac{|3a+4b|}{5\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow5\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt2|3a+4b|$
$\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=7b\\a=-\frac17b\end{array}\right.$.
+) Với $a=7b$. Ta chọn $b=1$, $a=7$. Suy ra $\Delta:7x+y-9=0$.
+) Với $a=-\frac17b$. Ta chọn $b=-7$, $a=1$. Suy ra $\Delta:x-7y+13=0$.