Bài tập nâng cao · Bài 48
Dạng 5. Min - max
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 48
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+(y-3)^2=1$. Giả sử điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai điểm $A(-3;0)$, $B(3;0)$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $x+y$ là
Xem lời giải
Lời giải
Chọn A.
Giả sử tọa độ của điểm $M(x;y)$. Khi đó ta có:
$x^2+(y-3)^2=1\quad(1)\Rightarrow(y-3)^2\leq1\Leftrightarrow2\leq y\leq4\quad(2)$.
Mặt khác: $MA+MB=\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\left[\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}\right]^2\leq2\left[(x-3)^2+y^2+(x+3)^2+y^2\right]=4(x^2+y^2)+36$.
Kết hợp với $(1)$, $(2)$ ta có:
$\left[\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}\right]^2\leq24y+4\leq100$.
Vậy $MA+MB\leq10$. Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=4\end{array}\right.$.
Giá trị lớn nhất của $MA+MB$ bằng 10 khi $M(0;4)$.
Khi đó: $x+y=4$.
Nhận xét
Bài này có thể giải dựa vào xét tương giao của Elip và đường tròn theo kiến thức lớp 10.
Giả sử tọa độ của điểm $M(x;y)$. Khi đó ta có:
$x^2+(y-3)^2=1\quad(1)\Rightarrow(y-3)^2\leq1\Leftrightarrow2\leq y\leq4\quad(2)$.
Mặt khác: $MA+MB=\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\left[\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}\right]^2\leq2\left[(x-3)^2+y^2+(x+3)^2+y^2\right]=4(x^2+y^2)+36$.
Kết hợp với $(1)$, $(2)$ ta có:
$\left[\sqrt{(x-3)^2+y^2}+\sqrt{(x+3)^2+y^2}\right]^2\leq24y+4\leq100$.
Vậy $MA+MB\leq10$. Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=4\end{array}\right.$.
Giá trị lớn nhất của $MA+MB$ bằng 10 khi $M(0;4)$.
Khi đó: $x+y=4$.
Nhận xét
Bài này có thể giải dựa vào xét tương giao của Elip và đường tròn theo kiến thức lớp 10.