Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(0;1)$, trung điểm của $AC$ là $M\left(\frac32;\frac32\right)$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm là $K$, bán kính $R=\sqrt5$ và $I(1;-1)$ là điểm đối xứng của $K$ qua đường thẳng $BC$. Giả sử tọa độ điểm $B(a;b)$ với $b$ là số nguyên, tính tổng $T=a+b$.

Question

Dạng 4. Tìm điểm Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(0;1)$, trung điểm của $AC$ là $M\left(\frac32;\frac32\right)$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm là $K$, bán kính $R=\sqrt5$ và $I(1;-1)$ là điểm đối xứng của $K$ qua đường thẳng $BC$. Giả sử tọa độ điểm $B(a;b)$ với $b$ là số nguyên, tính tổng $T=a+b$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/80f452d5382ec3869eea21ff351c3470/F. BAI TAP NANG CAO/image1104.png] Gọi $BB'$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tứ giác $AHCB'$ có $AH\parallel CB'$ (vì cùng vuông góc với $BC$) và $AB'\parallel HC$ (vì cùng vuông góc với $AB$). Từ đó suy ra tứ giác $AHCB'$ là hình bình hành nên ta có $M$ là trung điểm của $HB'$. Có $\left\{\begin{array}{l}x_{B'}=2x_M-x_H=3\y_{B'}=2y_M-y_H=2\end{array}ight.\Rightarrow B'(3;2)$. + Từ giả thiết có $IB=KB=R$ nên $(a-1)^2+(b+1)^2=5\quad(1)$. + Lại có $BB'=2R\Leftrightarrow(a-3)^2+(b-2)^2=20\quad(2)$. Giải hệ $(1)$, $(2)$ ta được $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=-1\b=0\end{array}ight.\\left\{\begin{array}{l}a=\frac{35}{13}\b=-\frac{32}{13}\quad(	ext{KTM})\end{array}ight.\end{array}ight.$. Vậy $T=-1$.

Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 47