Bài tập nâng cao · Bài 46
Dạng 4. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 46
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh $B,C$. Đỉnh $A(3;-7)$, trung điểm của $BC$ là $M(-2;3)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ có phương trình: $(x-3)^2+(y+4)^2=9$. Khi đó, tích hoành độ của điểm $B$ và điểm $C$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H=BE\cap CF$, ta có tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn $(C)$ đường kính $AH$.
Theo giả thiết $(C):(x-3)^2+(y+4)^2=9$.
$\Rightarrow$ Tâm $I(3;-4)\Rightarrow H(3;-1)\Rightarrow\vec{AH}=(0;6)$ là vtpt của đường thẳng $BC$.
$\Rightarrow$ Đường thẳng $BC$ nhận $\vec u=(1;0)$ làm vtcp.
$\Rightarrow BC:\begin{cases}x=-2+t\\y=3\end{cases}\Rightarrow B(t-2;3)$.
$M(-2;3)$ là trung điểm của đoạn $BC\Rightarrow C(-t-2;3)$.
Ta có $\vec{AB}=(t-5;10);\,\,\vec{HC}=(-t-5;4)$.
$AB\perp HC\Rightarrow\vec{AB}\cdot\vec{HC}=0\Leftrightarrow(t-5)(-t-5)+40=0\Leftrightarrow4-t^2=-61\Leftrightarrow x_B\cdot x_C=-61$.