Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 45

Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AJ$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, suy ra $D$ là điểm chính giữa cung $BC$.
Ta có, $\widehat{JBA}=\widehat{JBC}$, $\widehat{JAB}=\widehat{JAC}=\widehat{DBC}$, do đó $\widehat{BJD}=\widehat{JBA}+\widehat{JAB}=\widehat{JBC}+\widehat{CBD}=\widehat{JBD}$.
Suy ra $DB=DJ$. Chứng minh tương tự, ta cũng có $DC=DJ$.
Như vậy $B$, $C$ là điểm chung của đường tròn $(C)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ và đường tròn $(C')$ có tâm $D$, bán kính $DJ$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left(\dfrac52;1\right)$ và đi qua $A(1;-1)$ nên có phương trình:
$\left(x-\dfrac52\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{25}{4}$.
Đường thẳng $AJ:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}\Leftrightarrow x-y-2=0$.
Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}\left(x-\dfrac52\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{25}{4}\\x-y-2=0\end{cases}$. Do $D\neq A$ nên $D\left(\dfrac92;\dfrac52\right)$.
Đường tròn $(C')$ tâm $D\left(\dfrac92;\dfrac52\right)$, bán kính $DJ=\dfrac5{\sqrt2}$ nên có phương trình:
$\left(x-\dfrac92\right)^2+\left(y-\dfrac52\right)^2=\dfrac{25}{2}$.
Ta có $ID=\dfrac52$, $IA=\dfrac52$, $DJ=\dfrac5{\sqrt2}\Rightarrow|IA-DJ|<ID<IA+DJ$ cho nên hai đường tròn $(C)$ và $(C')$ cắt nhau.
Tọa độ $B,C$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}\left(x-\dfrac52\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{25}{4}\quad(1)\\\left(x-\dfrac92\right)^2+\left(y-\dfrac52\right)^2=\dfrac{25}{2}\quad(2)\end{cases}$.
Lấy (1) trừ đi (2) ta suy ra tọa độ $B,C$ là nghiệm của phương trình $4x+3y-13=0$.
Phương trình đường thẳng $BC$ là $4x+3y-13=0$.