Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 44
Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-2y-2=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M(-2;2)$ và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A;B$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ bằng $2$; với $I$ là tâm đường tròn $(C)$. Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc $\Delta$ biết $\Delta$ có hệ số góc nguyên?
Xem lời giải
Lời giải
$(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=2$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $\Delta$.
Suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ (vì $\Delta IAB$ cân tại $I$).
Ta có $S_{\Delta IAB}=\dfrac12\cdot IH\cdot AB=IH\cdot AH=2$. (1)
Ta lại có $IH^2+AH^2=R^2=4$. (2)
Từ (1), (2) suy ra $IH=AH=\sqrt2$.
Gọi $\vec n(a;b)\ (a^2+b^2>0)$ là vtpt của đường thẳng $\Delta$.
Mà $\Delta$ đi qua $M(-2;2)$ nên $\Delta:a(x+2)+b(y-2)=0$.
Ta có: $d(I;\Delta)=IH\Leftrightarrow\dfrac{|3a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt2$.
$\Leftrightarrow(3a-b)^2=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow7a^2-6ab-b^2=0\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a=b\\a=-\dfrac17b\end{bmatrix}$.
TH1: $a=b$.
Chọn $a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow\Delta:x+y=0$ (thỏa mãn).
TH2: $a=-\dfrac17b$.
Chọn $b=-7\Rightarrow a=1\Rightarrow\Delta:x-7y+16=0$ (loại vì $\Delta$ có hệ số góc nguyên).
Vậy $\Delta:x+y=0$. Suy ra điểm $C(1;-1)$ thuộc $\Delta$.
