Bài tự luận · Bài 17
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 17
Xác suất thành công khi làm một thí nghiệm $ T $ là 0,4. Một nhóm gồm 9 học sinh độc lập với nhau tiến hành thí nghiệm $ T $. Tính xác suất để:
a) Có đúng 6 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
b) Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
c) Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công.
a) Có đúng 6 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
b) Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
c) Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ E $ là biến cố: "Thí nghiệm $ T $ thành công". Ta có $ P(E)=0,4;n=9 $.
a) Gọi $ E_{ k } (0\leq k\leq 9) $ là biến cố: "Có đúng $ k $ học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Theo công thức Bernoulli ta có: $ P\left ( { E_{ 6 } } \right )=C_{ 9 } ^{ 6 }\cdot 0,4 ^ { 6 } \cdot 0,6 ^ { 3 } =84\cdot 0,4 ^ { 6 } \cdot 0,6 ^ { 3 } \approx 0,0743. $
b) Gọi $ M $ là biến cố: "Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Biến cố đối $ \bar M $ của $ M $ là: "Không có học sinh nào thực hiện thí nghiệm thành công", hay $ \bar M=E_{ 0 } $.
Vậy $ P(M)=1-P( \bar M)=1-P\left ( { E_{ 0 } } \right )=1-0,6 ^ { 9 } \approx 0,9899 $.
c) Gọi $ N $ là biến cố: "Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Biến cố đối $ \bar N $ của $ N $ là biến cố: "Có 8 học sinh hoặc 9 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công", tức là xảy ra một trong các biến cố $ E_{ 8 } $ hoặc $ E_{ 9 } $, hay $ \bar N=E_{ 8 } \cup E_{ 9 } $.
Vậy:
$ P( \bar N)=P\left ( { E_{ 8 } \cup E_{ 9 } } \right )=P\left ( { E_{ 8 } } \right )+P\left ( { E_{ 9 } } \right )=C_{ 9 } ^{ 8 }\cdot 0,4 ^ { 8 } \cdot 0,6+0,4 ^ { 9 } \approx 0,0038 \\ \Rightarrow P(N)=1-P( \bar N)\approx 1-0,0038=0,9962. $
a) Gọi $ E_{ k } (0\leq k\leq 9) $ là biến cố: "Có đúng $ k $ học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Theo công thức Bernoulli ta có: $ P\left ( { E_{ 6 } } \right )=C_{ 9 } ^{ 6 }\cdot 0,4 ^ { 6 } \cdot 0,6 ^ { 3 } =84\cdot 0,4 ^ { 6 } \cdot 0,6 ^ { 3 } \approx 0,0743. $
b) Gọi $ M $ là biến cố: "Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Biến cố đối $ \bar M $ của $ M $ là: "Không có học sinh nào thực hiện thí nghiệm thành công", hay $ \bar M=E_{ 0 } $.
Vậy $ P(M)=1-P( \bar M)=1-P\left ( { E_{ 0 } } \right )=1-0,6 ^ { 9 } \approx 0,9899 $.
c) Gọi $ N $ là biến cố: "Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công".
Biến cố đối $ \bar N $ của $ N $ là biến cố: "Có 8 học sinh hoặc 9 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công", tức là xảy ra một trong các biến cố $ E_{ 8 } $ hoặc $ E_{ 9 } $, hay $ \bar N=E_{ 8 } \cup E_{ 9 } $.
Vậy:
$ P( \bar N)=P\left ( { E_{ 8 } \cup E_{ 9 } } \right )=P\left ( { E_{ 8 } } \right )+P\left ( { E_{ 9 } } \right )=C_{ 9 } ^{ 8 }\cdot 0,4 ^ { 8 } \cdot 0,6+0,4 ^ { 9 } \approx 0,0038 \\ \Rightarrow P(N)=1-P( \bar N)\approx 1-0,0038=0,9962. $