Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm $D, E, F$ sao cho $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}$. Chứng minh rằng các điểm $D, E, F$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
b) Chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý). Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. a) Hãy xác định các điểm $D, E, F$ sao cho $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}$. Chứng minh rằng các điểm $D, E, F$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$. b) Chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$ hay $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$. Vậy $D$ là đỉnh của hình bình hành $BACD$, không phụ thuộc vào vị trí của $M$. Tương tự $E$ và $F$ lần lượt là các đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCE$ và $BCAF$. b) Ta có $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}\right)$ $=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 22