Bài tập nâng cao · Bài 23
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý).
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 23
a) Gọi $CM$ là đường phân giác trong của góc $C$. Hãy biểu thị véc-tơ $\overrightarrow{CM}$ theo các véc-tơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do đó $\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a}\overrightarrow{CB}}{1+\frac{b}{a}}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}$.
b) Cách 1
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ nên $AI$ là phân giác của tam giác $ACM$. Bởi vậy theo câu a) ta có thể biểu thị véc-tơ $\overrightarrow{AI}$ theo các véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AI}=\frac{AC}{AC+AM}\overrightarrow{AM}+\frac{AM}{AC+AM}\overrightarrow{AC}=\frac{b}{b+\frac{bc}{a+b}} \cdot \frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}+\frac{\frac{bc}{a+b}}{b+\frac{bc}{a+b}}\overrightarrow{AC}$
$=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}=\frac{b}{a+b+c}\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IA}\right)+\frac{c}{a+b+c}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}\right)$.
Suy ra $\left(1-\frac{b+c}{a+b+c}\right)\overrightarrow{IA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{IB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
Cách 2
Ta có $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{IC}=-\frac{a}{c}\overrightarrow{IA}-\frac{b}{c}\overrightarrow{IB}$.
Qua đỉnh $C$, vẽ 2 đường thẳng song song với 2 phân giác $AI, BI$ tạo thành hình bình hành $CA'IB'$.
Sử dụng quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA'}+\overrightarrow{IB'}$ và dùng tính chất đường phân giác để suy ra kết quả.