Cho tam giác $ABC$ đều, tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác $ABC$ và $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của nó trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý). Cho tam giác $ABC$ đều, tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác $ABC$ và $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của nó trên các cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Qua $M$ dựng các đoạn $A_1B_2 \parallel AB$; $B_1C_2 \parallel BC$; $C_1A_2 \parallel CA$ với $A_1, A_2 \in AC$; $B_1, B_2 \in BC$; $C_1, C_2 \in AB$. Các tam giác $MA_1A_2, MB_1B_2, MC_1C_2$ là những tam giác đều và $E, D, F$ là trung điểm của $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$. Ta có $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}\right)+\left(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}\right)+\left(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\right)\right]$ $=\frac{1}{2}\left[\left(\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MC_2}\right)+\left(\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MA_2}\right)+\left(\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MB_2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$ $=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$ (Vì $O$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$).

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 24