Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, $O$ là trung điểm của $IJ$. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$.
b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.
c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$ với $M$ là điểm bất kỳ.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý). Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, $O$ là trung điểm của $IJ$. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$. b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$ với $M$ là điểm bất kỳ.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}$. Tương tự $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}$. Mà $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}\right)+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}$ (đpcm). b) Theo hệ thức trung điểm ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$. Mặt khác $O$ là trung điểm $IJ$ nên $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)=\overrightarrow{0}$ (đpcm). c) Theo câu b) ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Do đó với mọi điểm $M$ thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}\right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$ (đpcm).

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 25