Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{3} + 8x + m}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ n & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ với $m, n$ là các tham số thực. Biết rằng hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$, khi đó hãy tính giá trị của $m + n$?

Lời giải Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = n$. Vì giới hạn $n$ là một số hữu hạn, mà mẫu số $\lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$, nên tử số bắt buộc phải nhận $x = 1$ làm nghiệm: $$ 1^{3} + 8 \cdot 1 + m = 0 \Rightarrow m = -9 $$ Khi $m = -9$, ta khử dạng vô định của giới hạn: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 8x - 9}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^{2} + x + 9)}{x - 1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} (x^{2} + x + 9) = 11 $$ Suy ra $n = 11$. Vậy giá trị của biểu thức là $m + n = -9 + 11 = 2$.