Giả sử giá cước của hai hãng taxi A và B được cho trong bảng sau: | Hãng xe | Giá cước mở cửa | Giá cước các km tiếp theo | Giá cước từ km thứ 31 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | A | $10\,000$ đồng | $12\,000$ đồng | $11\,000$ đồng | | B | $8\,000$ đồng | $13\,000$ đồng | $10\,000$ đồng | Giá mở cửa của hai hãng trên đều là giá cho $500\text{ m}$ đầu tiên.

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Đúng. Gọi $x$ là số km khách di chuyển bằng taxi hãng A. Số tiền phải trả của khách là: $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 10\,000 & \text{khi } 0 < x \le \frac{1}{2} \\ 10\,000 + 12\,000\Big(x - \frac{1}{2}\Big) & \text{khi } \frac{1}{2} < x \le 30 \\ 364\,000 + 11\,000(x - 30) & \text{khi } x > 30 \end{array} \right. $$ b) Sai. Dễ thấy hàm số $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $\Big(0; \frac{1}{2}\Big)$, $\Big(\frac{1}{2}; 30\Big)$, $(30; +\infty)$. Do $\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = f\Big(\frac{1}{2}\Big)$ và $\lim_{x \to 30} f(x) = f(30)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0; +\infty)$. c) Đúng. Gọi $x$ là số km khách di chuyển bằng taxi hãng B. Số tiền phải trả của khách là: $$ g(x) = \left\{ \begin{array}{l} 8\,000 & \text{khi } 0 < x \le \frac{1}{2} \\ 8\,000 + 13\,000\Big(x - \frac{1}{2}\Big) & \text{khi } \frac{1}{2} < x \le 30 \\ 391\,500 + 10\,000(x - 30) & \text{khi } x > 30 \end{array} \right. $$ Dễ thấy các hàm $f(x), g(x)$ liên tục trên $\left[\frac{1}{2}; 30\right]$, $f\Big(\frac{1}{2}\Big) - g\Big(\frac{1}{2}\Big) > 0$ và $f(30) - g(30) < 0$. Đặt $h(x) = f(x) - g(x)$, $h(x)$ liên tục trên $\left[\frac{1}{2}; 30\right]$ và $h\Big(\frac{1}{2}\Big) \cdot h(30) < 0$ nên tồn tại $x_0 \in \Big(\frac{1}{2}; 30\Big)$ để $h(x_0) = 0 \Rightarrow f(x_0) = g(x_0)$. d) Đúng. Trên $\left[\frac{1}{2}; 30\right]$, hàm số $h(x) = f(x) - g(x) = 2\,000 - 1\,000\Big(x - \frac{1}{2}\Big)$ liên tục, nghịch biến và $h\Big(\frac{1}{2}\Big) \cdot h(30) < 0$ nên có duy nhất $x_0 \in \Big(\frac{1}{2}; 30\Big)$ để $f(x_0) = g(x_0)$. Trên $(30; +\infty)$, hàm số $h(x) = f(x) - g(x) = -27\,500 + 1\,000(x - 30)$ liên tục, đồng biến và $h(30) < 0$, $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ nên có duy nhất $x_1 \in (30; +\infty)$ để $f(x_1) = g(x_1)$. Vậy luôn tồn tại hai giá trị của $x$ là $x_0, x_1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.