Bài tự luận · Bài 29
Dạng 4. Ứng dụng
Bài tự luận Dãy số · Bài 29
(CD11) Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là $0,5\%$ một tháng. Gọi $P_n$ (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau $n$ tháng.
a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của $P_n$.
a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của $P_n$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Số tiền cả gốc và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm 6 triệu đồng) là: $100+100\cdot\frac{0,5}{100}=100\cdot 1,005=100,5$ (triệu đồng).
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 100,5 + 6 = 106,5 (triệu đồng).
b) Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
$106,5\cdot 1,005+6=113,0325$ (triệu đồng). Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
$113,0325\cdot 1,005+6=119,5976625$ (triệu đồng).
c) Ta có: $P_1=100\cdot 1,005+6$;
$\begin{array}{ll} P_2=P_1\cdot 1,005+6 & =(100\cdot 1,005+6)\cdot 1,005+6=100\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6 \\ P_3=P_2\cdot 1,005+6 & =\left( 100\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6 \right)\cdot 1,005+6 \\ & =100\cdot 1,005^{3}+6\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6;\ldots \\ \end{array}$
Cứ như thế, ta dự đoán được công thức của $P_n$:
$\begin{array}{ll} P_n & =100\cdot 1,005^{n}+6\cdot 1,005^{n-1}+6\cdot 1,005^{n-2}+\ldots+6 \\ & =100\cdot 1,005^{n}+6\cdot\left( 1,005^{n-1}+1,005^{n-2}+\ldots+1 \right). \\ \end{array}$
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 100,5 + 6 = 106,5 (triệu đồng).
b) Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
$106,5\cdot 1,005+6=113,0325$ (triệu đồng). Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
$113,0325\cdot 1,005+6=119,5976625$ (triệu đồng).
c) Ta có: $P_1=100\cdot 1,005+6$;
$\begin{array}{ll} P_2=P_1\cdot 1,005+6 & =(100\cdot 1,005+6)\cdot 1,005+6=100\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6 \\ P_3=P_2\cdot 1,005+6 & =\left( 100\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6 \right)\cdot 1,005+6 \\ & =100\cdot 1,005^{3}+6\cdot 1,005^{2}+6\cdot 1,005+6;\ldots \\ \end{array}$
Cứ như thế, ta dự đoán được công thức của $P_n$:
$\begin{array}{ll} P_n & =100\cdot 1,005^{n}+6\cdot 1,005^{n-1}+6\cdot 1,005^{n-2}+\ldots+6 \\ & =100\cdot 1,005^{n}+6\cdot\left( 1,005^{n-1}+1,005^{n-2}+\ldots+1 \right). \\ \end{array}$