Một người viết $ n $ lá thư khác nhau để gửi cho $ n $ người ( $ n $ là số nguyên dương). Người đó bỏ ngẫu nhiên $ n $ lá thư đó vào $ n $ phong bì đã có sẵn địa chỉ (mỗi lá thư bỏ vào một phong bì). Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ vào đúng phong bì.

Question

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $ Một người viết $ n $ lá thư khác nhau để gửi cho $ n $ người ( $ n $ là số nguyên dương). Người đó bỏ ngẫu nhiên $ n $ lá thư đó vào $ n $ phong bì đã có sẵn địa chỉ (mỗi lá thư bỏ vào một phong bì). Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ vào đúng phong bì.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta gọi $ A_{ k } $ là biến cố lá thư thứ $ k $ bỏ đúng phong bì $ (k=1,2,…,n) $. Biến cố cần tính xác suất là $ A=A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } $. Dễ thấy $ P\left ( { A_{ i } } ight )=\frac { 1 } { n }=\frac { (n-1){ m{ ! } }{ m{ } } } { n! } $; $ P\left ( { A_{ i } ∩A_{ j } } ight )=P\left ( { A_{ i } } ight )P\left ( { A_{ j } \|A_{ i } } ight )=\frac { 1 } { n }\cdot \frac { 1 } { n-1 }=\frac { (n-2)! } { n! }; $ $ P\left ( { A_{ i } ∩A_{ j } ∩A_{ k } } ight )=P\left ( { A_{ i } } ight )P\left ( { A_{ j } \|A_{ i } } ight )P\left ( { A_{ k } \|A_{ i } ∩A_{ j } } ight )=\frac { (n-3)! } { n! }; $ $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ n } } ight )=P\left ( { A_{ 1 } } ight )P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } ight )…P\left ( { A_{ n } \|A_{ 1 } ∩…∩A_{ n-1 } } ight )=\frac { 0! } { n! } $. Vậy $ P(A)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } ight )-\sum \limits_{ 1\leq i < j\leq n } { P }\left ( { A_{ i } ∩A_{ j } } ight )+\sum \limits_{ 1\leq i < j < k\leq n } { P }\left ( { A_{ i } ∩A_{ j } ∩A_{ k } } ight )-… $ $ …+(-1) ^ { n-1 } P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ n } } ight )=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { C_{ n } ^{ k } }\cdot \frac { (-1) ^ { k-1 } \cdot (n-k)! } { n! }=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { \frac { (-1) ^ { k-1 } } { k! } } $ Nhận xét. Vì $ \mathop { lim } \limits_{ n	o +\infty } \sum \limits_{ k=0 } ^ n { \frac { (-1) ^ { k } } { k! } }=\frac { 1 } { e } $ nên khi $ n $ rất lớn thì $ P(A)\approx 1-\frac { 1 } { e } $. - Bài toán trên tương tự bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ: "Có $ n $ vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào $ n $ hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó". Câu trả lời là $ p_{ n } =\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \frac { (-1) ^ { k } } { k! } } $. Khi số vị khách $ n $ tiến đến vô hạn thì $ p_{ n } $ tiệm cận về $ \frac { 1 } { e } $. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là $ \frac { n! } { e } $ (làm tròn đến hàng đơn vị) với $ n $ là số nguyên dương. Kết quả của bài toán này là một ứng dụng của số $ e $, do các nhà Toán học Jacob Bernoulli (1654-1705) người Thuỵ Sĩ và Pierre Rémond de Montmort (1678 1719) người Pháp cùng tìm ra.

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 36