Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 14
Cho tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 4 luôn chia hết cho 3?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần tìm là $\bar n=a_1a_2a_3a_4a_5a_6$.
Số $\bar n$ có tính chất:
Lẻ nên $a_6\in\{1;3;5;7\}$.
$a_4$ chia hết cho 3 nên $a_4\in\{0;3;6\}$.
Trường hợp 1: $a_4=0$.
$a_6$ có 4 cách chọn.
Chọn 4 chữ số còn lại có $A_7^4$.
$\Rightarrow$ có $4\cdot A_7^4$.
Trường hợp 2: $a_4=3$.
$a_6$ có 3 cách chọn.
$a_1$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_6^3$.
$\Rightarrow$ có $3\cdot 6\cdot A_6^3$.
Trường hợp 3: $a_4=6$.
$a_6$ có 4 cách chọn.
$a_1$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_6^3$.
$\Rightarrow$ có $4\cdot 6\cdot A_6^3$.
Vậy có $4\cdot A_7^4+3\cdot 6\cdot A_6^3+4\cdot 6\cdot A_6^3=8400$.
Số $\bar n$ có tính chất:
Lẻ nên $a_6\in\{1;3;5;7\}$.
$a_4$ chia hết cho 3 nên $a_4\in\{0;3;6\}$.
Trường hợp 1: $a_4=0$.
$a_6$ có 4 cách chọn.
Chọn 4 chữ số còn lại có $A_7^4$.
$\Rightarrow$ có $4\cdot A_7^4$.
Trường hợp 2: $a_4=3$.
$a_6$ có 3 cách chọn.
$a_1$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_6^3$.
$\Rightarrow$ có $3\cdot 6\cdot A_6^3$.
Trường hợp 3: $a_4=6$.
$a_6$ có 4 cách chọn.
$a_1$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_6^3$.
$\Rightarrow$ có $4\cdot 6\cdot A_6^3$.
Vậy có $4\cdot A_7^4+3\cdot 6\cdot A_6^3+4\cdot 6\cdot A_6^3=8400$.