Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} + x & \text{khi } x < 1 \\ 2a^{2}x - 3a & \text{khi } x \geq 1 \end{cases}$. Biết hàm số liên tục tại $x = 1$ khi $a = \frac{m}{n} > 0$, với $\frac{m}{n}$ tối giản và $m, n \in \mathbb{Z}, n > 0$. Tính $2n^{2} - 3m^{2}$.

Lời giải Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) $$ Ta tính các giới hạn một bên: $$ \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + x) = 1^{2} + 1 = 2 $$ $$ \lim_{x \to 1^{+}} (2a^{2}x - 3a) = 2a^{2} - 3a $$ Cân bằng hai giới hạn: $$ 2a^{2} - 3a = 2 \Leftrightarrow 2a^{2} - 3a - 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a = 2 \\ a = -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $$ Vì điều kiện bài toán cho $a > 0$ nên ta chọn $a = 2$. Biểu diễn $a = 2 = \frac{2}{1} = \frac{m}{n}$, suy ra $m = 2$ và $n = 1$. Tính giá trị biểu thức mục tiêu: $$ 2n^{2} - 3m^{2} = 2 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 2^{2} = 2 - 12 = -10 $$ Vậy kết quả bằng $-10$.