Có bao nhiêu số nguyên $ m $ để hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} m ^ { 2 } x ^ { 2 } & { \rm{ khi } } x≤2 \\ \left ( { 6-m } \right )x & { \rm{ khi } } x>2 \end{array} \right. $ liên tục trên $ \mathbb{R} $?

Tập xác định $ D=\mathbb{R} $. Vì $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức trên các khoảng $ \left ( { -∞;2 } \right ) $, $ \left ( { 2;+∞ } \right ) $ nên $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên các khoảng $ \left ( { -∞;2 } \right ) $, $ \left ( { 2;+∞ } \right ) $. Ta có $ f\left ( { 2 } \right )=m ^ { 2 } ⋅2 ^ { 2 } =4m ^ { 2 } $. $ \lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } m ^ { 2 } x ^ { 2 } =4m ^ { 2 } $. $ \lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \left ( { 6-m } \right )x=2\left ( { 6-m } \right )=12-2m $. Ta có $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ $ ⇔ $ $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục tại $ x=2 $ $ ⇔\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 2 } \right ) $ $ ⇔4m ^ { 2 } =12-2m $ $ ⇔4m ^ { 2 } +2m-12=0⇔2m ^ { 2 } +m-6=0⇔\left[ \begin{array}{l} m=\frac { 3 } { 2 } \\ m=-2 \end{array} \right. $ Vì $ m $ là số nguyên nên $ m=-2 $. Vậy có $ 1 $ giá trị nguyên của $ m $ thỏa mãn.