Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 3m + 1 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tính giá trị biểu thức $P = 6m + 5$.

Lời giải Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Xét tại điểm biến mốc $x = 2$, ta tính giới hạn khử vô định: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5 $$ Giá trị hàm số tại điểm này là $f(2) = 3m + 1$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi liên tục tại $x = 2$, nghĩa là: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow 5 = 3m + 1 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3} $$ Tính giá trị biểu thức mục tiêu $P$: $$ P = 6m + 5 = 6 \cdot \Big(\frac{4}{3}\Big) + 5 = 8 + 5 = 13 $$ Vậy giá trị của biểu thức $P$ bằng $13$.