Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 5x + 4} & \text{khi } x > 1 \\ ax + 2 & \text{khi } x \leq 1 \end{cases}$. Giá trị của tham số $a$ để hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$ là?

Lời giải Tính giới hạn bên phải tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 5x + 4} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}{(x - 1)(x - 4)} $$ $$ = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{x - 4} = \frac{1 + 1 + 1}{1 - 4} = -1 $$ Tính giới hạn bên trái và giá trị của hàm số tại $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (ax + 2) = a + 2 $$ $$f(1) = a + 2$$ Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow a + 2 = -1 \Leftrightarrow a = -3 $$ Vậy hằng số cần tìm là $a = -3$.