Biết rằng hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ m & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$ (với $m$ là tham số). Giá trị của $m$ là?

Lời giải Hàm số xác định trên $[0; 2]$, tự động liên tục trên các khoảng nửa khoảng $[0; 1)$ và $(1; 2]$. Do đó, để liên tục trên toàn bộ đoạn $[0; 2]$, điều kiện cần và đủ là hàm số phải liên tục tại điểm tách biệt $x = 1$. Ta có: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{\sqrt{x} - 1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \Big[(\sqrt{x} + 1)(x + 1)\Big] = (1 + 1)(1 + 1) = 4 $$ Mặt khác, theo công thức hàm số thì $f(1) = m$. Để liên tục tại $x = 1$, ta đòi hỏi: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = 4 $$ Vậy giá trị của $m$ bằng $4$.