Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 2\sqrt{x} - m & \text{khi } x \geq 0 \\ mx + 2 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Hàm số liên tục trên các khoảng $(0; +\infty)$ và $(-\infty; 0)$ với mọi $m$. Xét tại điểm giáp ranh $x = 0$, ta có: $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \Big(2\sqrt{x} - m\Big) = -m $$ $$f(0) = -m$$ $$ \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (mx + 2) = 2 $$ Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0) \Leftrightarrow -m = 2 \Leftrightarrow m = -2 $$ Vậy giá trị của $m$ là $-2$.