Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Ta tính giới hạn tại điểm biến đổi $x = 2$: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 3 $$ Mặt khác, giá trị hàm số tại điểm này là $f(2) = m$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi liên tục tại $x = 2$: $$ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3 $$ Vậy giá trị tham số cần tìm là $m = 3$.